Question

在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为(3，

5

)，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

得直线l的普通方程为x+y-3-

5

=0--------2分
又由ρ=2

5

sinθ得 ρ²=2

5

ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+（y-

5

）²=5；---------5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3-

2

2

t）²+（

2

2

t）²=5，即t²-3

2

t+4=0
设t₁，t₂是上述方程的两实数根，
所以t₁+t₂=3

2

又直线l过点P(3，

5

)，A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
所以|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．------------------10分．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．