Question

(本题满分14分)设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点P在第一象限.

   （1）求m的值，以及P的坐标；

   （2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；

   （3）设C上有一点R，其横坐标为，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求的取值范围.

Answer 1

（1）斜率k=，P的坐标为 （2，1）

（2）Q点的坐标为 （，－4）

（3）t的取值范围为t<或t>.

解析:

设点P的坐标为（x₁， y₁），则y₁=kx₁……①，y₁= –+x₁ – 4……②，

         ①代入②，得：+（k–）x₁+4=0…………………………………………………2分

         因为点P为切点，所以 （k–）²–16=0，得：k=或k=……………………4分[来源:Z。xx。k.Com]

         当k=时x₁= －2，y₁= －17；当k=时，x₁= 2，y₁= 1；

         因为点P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐标为 （2，1），……………6分

法二：求导

   （2）过 P点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：

         x²－x+9=0，设Q点的坐标为 （x₂， y₂），则2x₂=9，所以x₂=，y₂=－4，

         所以Q点的坐标为 （，－4），………………………………………………10分

   （3）设C上有一点R（t，－t²+t–4），它到直线PQ的距离为：

         d==……………………………………12分

         点O到直线PQ的距离PO =，S_DOPQ=??PQ??OP，S_DPQR=??PQ??d，

         因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，S_DOPQ < S_DPQR ，

         即：OP < d，即：>5，……………………………………14分

         +4>0或+14<0

         解之得：t<或t>[来源:Zxxk.Com]

         所以t的取值范围为t<或t>.……………………………16分

法二：做平行线