Question

13．为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N⁺）：以f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{200n+2000，n∈[1，8]}\\{360•{3}^{\frac{n-8}{12}}+3000，n∈[9，32]}\\{32400-720n，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n时进入人数，以g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{0，n[1，18]}\\{500n-9000，n∈[19，32]}\\{8800，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：

Answer 1

分析 （1）根据条件利用代入法即可得f（21）+f（22）+f（23）+f（24）和g（21）+g（22）+g（23）+g（24）的值，
（2）根据分段函数的表达式，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为f（21）+f（22）+f（23）+f（24）=360×[3${\;}^{\frac{13}{12}}$+3${\;}^{\frac{14}{12}}$+3${\;}^{\frac{15}{12}}$+3${\;}^{\frac{16}{12}}$]+3000×4≈17460（人）…3分
离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000 （人）    …6分
（2）当f（n）-g（n）≥0 时，园内游客人数递增；
当 f（n）-g（n）＜0时，园内游客人数递减．…7分
①当19≤n≤32 时，由f（n）-g（n）=360•3${\;}^{\frac{n-8}{12}}$-500n+12000≥0，可得：
当 19≤n≤28 时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分
当29≤n≤32  时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；  …11分
（ f（28）-g（28）=246.49＞0； f（29）-g（29）=-38.13＜0 ） 
②当33≤n≤45 时，由f（n）-g（n）=-720n+23600 递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． …13分
综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人．…14分

点评 本题主要考查函数的应用问题，分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义是解决本题的关键．