Question

15．如图，在△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=1，以BC为边作等腰直角三角形BCD（B为直角顶点，A，D两点在直线BC的两侧），当∠A∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，2]．

Answer 1

分析 运用正弦定理，可得BDsin∠ABC=sin∠BAC，再由余弦定理可得AD²=5+2$\sqrt{2}$•sin∠BAC-2$\sqrt{2}$cos∠BAC，由向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠CAD=$\frac{1}{2}$（AC²+AD²-CD²）=2sin（$\frac{π}{4}$+∠BAC），由A的范围，结合正弦函数的性质可得取值范围．

解答 解：△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=1，
∵BC=BD，
∴在△ABC中，由正弦定理得
$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{BD}{sin∠BAC}$，
∴BDsin∠ABC=sin∠BAC，
在△BAD中，AD²=BD²+AB²-2BD•BAcos（90°+∠ABC）
=BC²+2+2BC•$\sqrt{2}$sin∠ABC
=（AC²+AB²-2AC•AB•cos∠BAC）+2+2$\sqrt{2}$•BCsin∠ABC
=（1+2-2$\sqrt{2}$cos∠BAC）+2+2$\sqrt{2}$•BDsin∠ABC
=（1+2-2$\sqrt{2}$cos∠BAC）+2+2$\sqrt{2}$•sin∠BAC
=5+2$\sqrt{2}$•sin∠BAC-2$\sqrt{2}$cos∠BAC
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠CAD=$\frac{1}{2}$（AC²+AD²-CD²）
=$\frac{1}{2}$（1+5+2$\sqrt{2}$•sin∠BAC-2$\sqrt{2}$cos∠BAC-6+4$\sqrt{2}$cos∠BAC）
=$\sqrt{2}$（sin∠BAC+cos∠BAC）=2sin（$\frac{π}{4}$+∠BAC），
由∠A∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即有$\frac{π}{4}$+∠BAC∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，
则sin（$\frac{π}{4}$+∠BAC）∈[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]，
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，2]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，2]．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，同时考查诱导公式和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．