Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象和直线y=3x无交点，现有下列结论：
①方程f（f（x））=9x一定没有实数根； 
②若a＜0，则必存在实数x₀，使f（f（x₀））＞9x₀；
③函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-3x也一定没有交点；
④若a+b+c=0，则不等式f（f（x））＜9x对一切实数都成立；
其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的图象与直线y=3x没有交点，所以f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立．进而逐一由此判断①～④的真假即可得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）的图象与直线y=3x没有交点，所以f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立．
因为f（f（x））＞3f（x）＞9x或f（f（x））＜3f（x）＜9x恒成立，所以f（f（x））=9x没有实数根；
故①正确；
若a＜0，由题意知，二次函数的图象必在直线y=3x的图象下方，则不等式f（f（x）＜9x对一切实数x都成立，所以不存在x₀，使f（f（x₀））＞9x₀；
故②错误；
函数g（x）=f（-x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=-3x也一定没有交点．
故③正确；
若a+b+c=0，则f（1）=0，此时y=3x=3，故a＜0，由①得：不等式f（f（x））＜9x对一切实数都成立；
故④正确；
故正确的结论有：①③④
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知得到f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立是解答本题的关键．