Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），曲线C₂：x²+y²-2y=0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）射线l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）与曲线C₁，C₂分别交于点A，B（均异于原点O），求|AB|值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 参数方程化为普通方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ） 设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．将θ=$\frac{π}{4}$代入曲线C₁的极坐标方程 ρ₁，同理将θ=$\frac{π}{4}$代入曲线C₂的极坐标方程得ρ₂，即可得出|AB|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（Ⅰ） 曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲线C₁的极坐标方程ρ²+ρ²sin²θ=2．
曲线C₂：x²+y²-2y=0的极坐标方程ρ=2sinθ；
（Ⅱ）设A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．
将θ=$\frac{π}{4}$代入曲线C₁的极坐标方程ρ²+ρ²sin²θ=2得 ρ₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理将θ=$\frac{π}{4}$代入曲线C₂的极坐标方程ρ=2sinθ得ρ₂=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、曲线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．