Question

经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=

-t2+26t+80 ，  0＜t≤10 240 ，          10≤t≤20 kt+400 ，         20≤t≤40

，
（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？
（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由分段函数知，求出每一段上的最大值即可判断；
（2）解每一段上f（t）=185的解，从而得到时间段，从而求解．

解答： 解：（1）当t=20时，f（t）=240，
则有240=20k+400；
解得，k=-8；
当0＜t≤10时，f（t）=-t²+26t+80是单调递增的，且f（10）=240；
当10＜t≤20时，f（t）=240；
当20＜t≤40时，f（t）=-8t+400是单调递减的，且f（20）=240；
故讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；
（2）由f（t）=-t²+26t+80=185解得，t=5或t=21（舍去）；
由f（t）=-8t+400=185解得，t=26.875；
故学生的注意力至少达到185的时间有26.875-5=21.875＜24；
故老师不能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．

点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．