题目内容

1
22-1
+
1
32-1
+
1
42-1
+…+
1
(n+1)2-1
的值为（　　）
A、
n+1
2(n+2)
B、
3
4
-
n+1
2(n+2)
C、
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)
D、
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
分析：由题意知
1
22-1
+
1
32-1
+
1
42-1
+…+
1
(n+1)2-1
=
1
2
[（1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)  +(
1
3
-
1
5
)+…+ (
1
n
-
1
n+2
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n
-
1
n+2
)]，即可得答案．
解答：解：
1
22-1
+
1
32-1
+
1
42-1
+…+
1
(n+1)2-1

=
1
(2+1)(2-1)
+
1
(3+1)(3-1)
+
1
(4+1)(4-1)
+…+
1
(n+1+1)(n+1-1)

=
1
3×1
+
1
4×2
+
1
5×3
+…+
1
(n+2)n

=
1
2
[（1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)  +(
1
3
-
1
5
)+…+ (
1
n
-
1
n+2
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n
-
1
n+2
)]
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
=
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)．
故选C．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解条．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N+时(1+
1
22
)(1+
1
32
)…(1+
1
n2
)＜e．
lim
n→∞
(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)…(1-
1
n2
)=
 
．
已知函数f（x）=x-lnx
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：(1+
1
22
)(1+
1
32
)…(1+
1
n2
)＜e其中n≥2，n∈N*．
lim
n→∞
[(1-
1
22
)(1-
1
32
)…(1-
1
n2
)]=
1
2
1
2
．
（1）计算
lim
n→∞
(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)…(1-
1
4n2
)．
（2）若
lim
n→∞
(2n+
an2-2n+1
bn+2
)=1，求
a
b
的值．

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