Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N₊时(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．

Answer 1

分析：（I）①求f′（x）②解不等式f′（x）＞0得单增区间③f′（x）＜0得单调递减区间
（II）①f'（1）=0，得a=0  f（x）=x-lnx，
②f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0，
③【0.5，2]上有两根则f（x）两次穿过x轴：g（0.5）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0可解b范围（III）由（I）和（II）可知a=0，x∈[0.5，+∞） f（x）≥f（1），即lnx≤x-1
∴x＞1时，lnx＜x-1令x=1+

1

n2

得ln（1+

1

n2

）＜

1

n2

，
∴n≥2，加以变形便有所求证明

解答：解：（Ⅰ）由已知由函数f（x）的定义域为x＞-a，f′(x)=1-

1

x+a

=

x+a-1

x+a

，
∵-a＜-a+1，
∴由f'（x）＞0，得x＞-a+1，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜-a+1，
所以函数f（x）的减区间为（-a，-a+1），增区间为（-a+1，+∞）．（4分）

（II）由题意，得f'（1）=0，
∴a=0．（5分）
∴由（Ⅰ）知f（x）=x-lnx，
∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，
∴x²-3x+lnx+b=0，
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），
则g'（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

当x∈[

1

2

，2]变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：（6分）
∵方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，
∴

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0 g(2)≥0

，
∴

5

4

+ln2≤b＜2，即b∈[

5

4

ln2，2)．（8分）

（III）由（I）和（II）可知当a=0，x∈[

1

2

，+∞)时，f（x）≥f（1），
即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．（10分）
令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），
则ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．
所以当n≥2，n∈N^*时，
ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

++

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n×(n-1)

=1-

1

n

＜1，
即ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)(1+

1

n2

)＜1，
∴(1+

1

22

)(1+

1

32

)(1+

1

n2

)＜e．（12分）

点评：本题考查导数应用求函数单调区间