Question

已知函数f（x）=x-lnx
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e其中n≥2，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，利用f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；利用f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，从而当x＞1时，lnx＜x-1．令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），则ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

，由此可证得结论．

解答：（1）解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1，
∴f（x）的单调递减区间是（0，1）；f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；
（2）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．
令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），则ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．
所以当n≥2，n∈N^*时，ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n-1)

=1-

1

n

＜1，
即ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜1，
∴(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．    …14分．

点评：本题重点考查函数的单调性，考查不等式的证明，解题的关键是求得导函数，利用f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；利用f′（x）＞0，可得函数的单调增区间．