Question

【题目】已知，设函数.

（1）讨论单调性；

（2）若当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，然后根据的不同取值，进行分类讨论函数的单调性；

（2）当时，，且时，，于是等价于，显然若，时，不等式不成立；当若，构造新函数，求导，得，函数在单调递增，所以，可以证明出当时，，当时，可以通过找到零点，证明出不恒大于零.

解：（1）.

当时，，当时，，当时，.所以在单调递增；在单调递减.

当时，由得或，因为，所以当或时，，当时，.所以在，单调递增；在单调递减.

（2）当时，，且时，，于是等价于.

若，当时，不成立.

若，设，.

函数在单调递增，所以.

当时，，在单调递增，所以.

当时，因为，，所以存在唯一，使得当时，，在单调递减，，不成立.

综上，的取值范围为.