题目内容
【题目】已知椭圆
：
，其中
，点
是椭圆的右顶点，射线
：
与椭圆的交点为
.
（1）求点的坐标；
（2）设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为
、
，当
的值在区间
中变化时，求
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以为焦点，
为顶点且开口方向向左的抛物线过点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）联立方程组
，再求解即可；
（2）由椭圆的几何性质可得
，
，再解不等式
即可；
（3）先求出抛物线的方程为
，由点
在抛物线上可得
，再令
，则
①，其中
，则问题可转化为抛物线①在区间
上与椭圆有一个交点的充要条件是：
，再求解即可.
解：（1）解方程组，
得
，
所以；
（2）因为
，
，所以椭圆的焦点在
轴上，，，
由条件
，得：，所以；
（3）由题意得：
，且抛物线焦点
与顶点
的距离为
，
设抛物线方程为：
，那么
，
故抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，
，
设，因为，所以，
令①，其中，
抛物线①开口向上，其对称轴
，
抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是：，
即
，所以
，
所以
的取值范围是.
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