题目内容
【题目】已知曲线
的方程为
，集合
，若对于任意的
，都存在
，使得
成立，则称曲线为
曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）
①
；②
；③
；④
；⑤
.
【答案】①③⑤
【解析】
对于任意
，存在
，使
成立，即
成立.①
表示的是椭圆，根据椭圆关于原点中心对称判断.②
表示双曲线，可取特殊点
判断.③
表示抛物线，根据其图象关于x轴对称判断.④根据其图形，可取特殊点
判断.⑤由
，可得
或点
，根据过原点一定有一条直线与之垂直来判断.
对于任意，存在，使成立，即.成立.
对于①，∵的图象关于原点中心对称，∴对于任意
，存在
，使.故为
曲线；
对于②，当
为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点，使.故不是曲线；
对于③，其图象关于x轴对称，
的垂线一定与抛物线相交，故为曲线；
对于④，当为时，曲线上不存在点，使.故④不是曲线；
对于⑤，由可得或点，∴对于任意，存在，使.故为曲线.
故答案为:①③⑤.
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