Question

已知函数f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设x∈[-

π

4

，

π

6

]，求f（x-

π

8

）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角的正弦和余弦公式及两角和的正弦公式化简f（x），再由正弦函数的增区间解不等式即可得到所求区间；
（2）化简f（x-

π

8

），由x的范围求得2x的范围，再由正弦函数的单调性，即可得到最小值和最大值．

解答： 解：（1）f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x
=sin2x+（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）f（x-

π

8

）=

2

sin[2（x-

π

8

）+

π

4

]=

2

sin2x，
由x∈[-

π

4

，

π

6

]，则2x∈[-

π

2

，

π

3

]，
sin2x∈[-1，

3

2

]，
当x=

π

6

时，f（x-

π

8

）取得最大值

6

2

；
当x=-

π

4

时，f（x-

π

8

）取得最小值-

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于中档题．