直线y＝ax+1和双曲线3x2-y2＝1相交于A.B两点.问a为何值时.以AB为直径的圆过坐标原点? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

直线y＝ax＋1和双曲线3x²－y²＝1相交于A、B两点，问a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

答案：
解析：

　　解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

　　∵以AB为直径的圆过坐标原点，

　　∴OA⊥OB．

　　∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

　　即x₁x₂＋(ax₁＋1)(ax₂＋1)＝0．

　　∴(a²＋1)x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋1＝0．

　　由得(a²－3)x²＋2ax＋2＝0，

　　∴

　　∴a²＜6且a²≠3，(a²＋1)·．

　　∴a＝±1，即当a＝±1时，以AB为直径的圆过坐标原点．

提示：

以AB为直径的圆过原点O等价于OA⊥OB，等价于·＝0，可用x₁x₂＋y₁y₂＝0表示，进而与方程组建立联系．

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　　（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点?

　　（2）是否存在实数a，使两交点A、B关于直线y＝x对称?如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

直线y＝ax＋1与双曲线3x²－y²＝1交于A、B两点．

①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

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