Question

直线y＝ax＋1与双曲线＝1相交于A，B两点．

　　（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点?

　　（2）是否存在实数a，使两交点A、B关于直线y＝x对称?如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  （1）以AB为直径的圆过原点，也就是已知OA⊥OB，从而得到＋＝0，这是解决问题的关键． 　　（2）如果存在实数a使A、B关于y＝x对称，也就是直线y＝x是AB的垂直平分线，从而解得a，且AB的中点M即为AB与直线y＝x的交点，则M点的坐标必须满足y＝x，以此来判断是否存在． 解  （1）由 消去y，得 　　－2ax－2＝0                        ① 　　设A（，），B（，）， 　　以AB为直径的圆过原点＋＝0． 　　由方程①得 　　＋＝，＝ 　　＝（a＋1）（＋1） 　　     ＝a（＋）＋＋1 　　     ＝1． 　　把得到的与代入＋＝0中，有 　　＝0， 　　故a＝±1． 　　（2）设A，B关于直线y＝x对称， 　　则AB的垂直平分线方程为y＝x，且AB中点M（，）在直线y＝x上， 　　∴  a＝－2． 　　由消去y，得－4x＋2＝0，则． 　　代入y＝－2x＋1得＝－3． 　　∵  M（2，－3）不在直线y＝x上，即AB中点M不在直线y＝x上，故这样的实数a不存在． 点评  “设而不求”即点差法是求参数取值范围时经常使用的方法，涉及到中点坐标时可考虑使用此法．对称性问题是近几年高考的热点，应引起足够重视．