Question

15．已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），若f（x）的单调递减区间为（0，4），单调递增区间为（-∞，0）与（4，+∞），求k的值．

Answer 1

分析 先求导函数f′（x），令f′（x）＜0，求出函数f（x）的单调减区间，而f（x）的单调减区间为（0，4），它们是同一区间，建立等式关系，即可求出k的值．

解答 解：f′（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或$\frac{2k+2}{k}$而 $\frac{2k+2}{k}$＞2，
令f′（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，$\frac{2k+2}{k}$），
∴f（x）的单调减区间为（0，$\frac{2k+2}{k}$），
根据题意可知（0，4）=（0，$\frac{2k+2}{k}$），
即$\frac{2k+2}{k}$=4，解得k=1，
所以k的值为1．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．