Question

10．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，关于x的方程f（x）=a 恰有两个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式及辅助角公式化简f（x），根据周期公式即可求得ω的值；
（2）由（1）求得f（x）的解析式，根据正弦函数图象及性质即可判断函数区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性；
（3）由题意可知y=a与函数在[0，$\frac{π}{2}$]上，与f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$由两个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx，
=$\sqrt{2}$（sin 2ωx+cos 2ωx）+$\sqrt{2}$，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，从而有$\frac{2π}{2ω}$=π，
故ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．若0≤x≤$\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$．
当$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即0≤x≤$\frac{π}{8}$时，f（x）单调递增；
当$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）单调递减．
综上可知，f（x）在区间[0，$\frac{π}{8}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，关于x的方程f（x）=a 恰有两个不同的解，
即y=a与函数在[0，$\frac{π}{2}$]上，与f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$由两个交点，

由函数图象可知：a∈[2$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
实数a的取值范围[2$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查三角恒等变换，两角和差的正弦公式及辅助角公式，正弦函数图象及性质，考查数形结合思想，属于中档题．