Question

8．给出以下命题：
①若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线；
②函数f（x）=cos（sinx）的最小正周期为π；
③在△ABC中，|$\overrightarrow{AC}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，|$\overrightarrow{AB}$|=5，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=16；
④函数f（x）=tan（2x-$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0）；
其中正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 由向量共线知识，即可判断①；由函数的周期定义，结合诱导公式即可判断②；
由向量数量积的定义，即可判断③；由正切函数的对称中心，即可判断④．

解答 解：对于①，若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$中有一个零向量，可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线；若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$即为非零向量，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线；故①正确；
对于②，函数f（x）=cos（sinx），f（x+π）=cos（sin（x+π））=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），
故f（x）的最小正周期为π；故②正确；
对于③，在△ABC中，|$\overrightarrow{AC}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，|$\overrightarrow{AB}$|=5，则△ABC为直角三角形，且cosB=$\frac{4}{5}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=5×4×（-$\frac{4}{5}$）=-16；故③错误；
对于④，函数f（x）=tan（2x-$\frac{π}{3}$），令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{kπ}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
k=1时，x=$\frac{5π}{12}$，则f（x）的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0）；故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查向量共线、向量数量积的定义和三角函数的周期及对称性，考查判断和推理能力，属于基础题．