Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（I）连接OC，由已知中O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

6

，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理，可分别证得AO⊥BD，AO⊥AC，结合线面垂直的判定定理即可得到AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）法一：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则∠AEO为二面角A-BC-D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
法二：以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）法一：设点O到平面ACD的距离为h，根据V_O-ACD=V_A-OCD，分别求出三棱锥的体积和底面ACD的面积，即可得到O点到平面ACD的距离；
法二：求出平面ACD的法向量

m

，代入公式

h

OA

=cosθ，即可得到O点到平面ACD的距离．

解答：解法一：（I）证明：连接OC，△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB=2，AC=

6

，∴AO=CO-

3

．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥AC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．
（Ⅱ）
过O作OE⊥BC于E，连接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE
∴AE⊥BC∴∠AEO为二面角A-BC-D的平角．
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，tan∠AEO=

AO

OE

=2，cos∠AEO=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值为

5

5

（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴

1

3

S△ACD•h=

1

3

S△OCD•AO
在△ACD中，AD=CD=2，AC=

6

，S△ACD=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

而AO=

3

，S△OCD=

3

2

，∴h=

S△OCD

S△ACD

•AO=

15

5

∴点O到平面ACD的距离为

15

5

．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则

O(0，0，0)，A(0，0 3 ) B(0，1，0)，C( 3 ，0，0)，D(0，-1，0)

∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量

AO

=(0，0，

3

)
设平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，

AB

=(0，1，-

3

)，

BC

=(

3

，-1，0)
由

n • AB =0 n • BC =0

?

y- 3 z=0 3 x-y=0

?

n

=(1，

3

，1)
设

n

与

AO

夹角为θ，则|cosθ|=|

n • AO

| n |•| AO |

|=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值为

5

5

．
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为

m

=(x，y，z)，又

DA

=(0，1，

3

)，

DC

=(

3

，1，0)

m • DA =0 m • DC

?

y+ 3 z=0 3 x+y=0

?

m

=(1，-

3

，1)
设

OA

与

m

夹角为θ，则cosθ=|

m • OA

| a |•| OA |

|=

5

5

设O到平面ACD的距离为h，∵

h

OA

=

5

5

?h=

15

5

，∴O到平面ACD的距离为

15

5

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中解法一（几何法）中要熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及棱锥体积的转化；解法二（向量法）的关键是建立适当的坐标系，将二面角问题及点到平面的距离问题转化为向量问题．