Question

如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求 异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，用运算的方式来证明结论．
（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF，由中位线定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．

解答：解：（1）证明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD且AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，连接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD

（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF
△ABC中E．F分别为BC．AC中点
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中O．E分别为BD．BC中点
∴OE∥CD且OE=

1

2

CD=1
∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）
又OF是Rt△AOC斜边上的中线∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

点评：本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题．