Question

如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求证：AB⊥BD；
（2）求四面体ABCD的表面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：CD⊥平面ABC，再根据面面垂直的判断定理可得：平面ABC⊥平面BCD，进而得到线面垂直得到线线垂直．
（2）此题分情况讨论：当AC⊥CD时，则AB⊥BD，进而得到四面体ABCD的表面积．当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，当AD⊥AC时，再讨论AB与AD不能垂直，并且BD与AD不能垂直，进而得到AB⊥BD得到答案．

解答：解：（1）因为AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因为CD?平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因为AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）当AC⊥CD时，则AB⊥BD，
因为AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=

b2+c2

，AC=

a2+b2

，
所以四面体ABCD的表面积S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

a

b2+c2

+

1

2

c

a2+b2

．
当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，否则由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
当AD⊥AC时，AB与AD不能垂直，否则AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因为BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，这与AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，从而可得：AD²=a²-b²-c²，…①
由AD⊥AC得，AD²=c²-b²-a²…②
由①②可得：a=c，所以AD²=-b²＜0矛盾．
所以AD⊥CD，从而得到AB⊥AD，
当AD⊥CD时，AD²=a²+b²-c²，
当AB⊥AD时，AD²=b²+c²-a²，
所以a=c，AD=b，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，所以舍去．
所以其表面积为S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

a

b2+c2

+

1

2

c

a2+b2

．…12（分）

点评：本题主要考查空间中的点、线、面得位置关系，解决此类问题的关键是熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，此题考查学生的推理论证与空间想象能力，以及考查分析问题与解决问题的能力，此题考查的知识比较基础，但象这种基础知识也是学生的薄弱点与易错点．