Question

如图，四面体ABCD中，0是BD的中点，CA=CB=CD=BD=a，AB=AD=

2

2

a．
（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；
（2）求二面角O-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先利用等腰三角形的性质证明AO⊥BD，CO⊥BD，利用线面垂直的判定，证明BD⊥平面AOC，从而可得平面AOC⊥平面BCD；
（2）作OG⊥AC于点G，连接DG，由三垂线定理可知∠OGD为所求二面角的平面角，从而可求二面角的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵BO=DO，AB=AD
∴AO⊥BD
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD
∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC．
∵BD?平面BCD，
∴平面AOC⊥平面BCD．
（2）解：∵DO⊥平面AOC，
作OG⊥AC于点G，连接DG，由三垂线定理可知∠OGD为所求二面角的平面角．
在△DOG中，由已知可得DO=

1

2

a，OG=

3

4

a．
∴DG=

OD2+OG2

=

7

4

a，
∴cos∠OGD=

OG

DG

=

3 4 a

7 4 a

=

21

7

∴所求二面角的平面角的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查线面垂直、考查面面垂直，考查面面角，掌握线面、面面垂直的判定方法，作出面面角是关键．