题目内容
7．给出下列四个命题：①函数f（x）=|x|-1既是偶函数，又是（0，+∞）的单调递增函数；②若关于x的不等式|x-4|+|x+3|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（-∞，7）；
③若函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a=5；
④设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0（b、c∈R）恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）=3lg2．（其中所有真命题的序号是①③④．
分析 分析函数f（x）=|x|-1的单调性和奇偶性，可判断①；求出|x-4|+|x+3|的最小值，可判断②；求出函数f（x）=|x+1|+|x-a|图象对称轴的表达式，可判断③；计算f（x1+x2+x3+x4+x5）的值，可判断④．
解答 解：①函数f（x）=|x|-1，满足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）=|x|-1=x-1是单调递增函数，故正确；
②|x-4|+|x+3|≥|（x-4）-（x+3）|=7，若关于x的不等式|x-4|+|x+3|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（-∞，7]，故错误；
③若函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则$\frac{a-1}{2}=2$，则a=5，故正确；
④设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$的图象如下图所示：
若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0（b、c∈R）恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，
则x1+x2+x3+x4+x5=10，
则f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（10）=3lg2，故正确．
故正确的命题有①②③④，
故答案为：①③④
点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，单调性，对称性等知识点，难度中档．
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