Question

3．曲线f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）处的切线经过过点A（-1，y₁），B（3，y₂），则y₁与y₂的等差中项为（　　）

• A． -6
• B． -4
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由导数的几何意义求出曲线f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）处的切线为y=-$\frac{7}{2}x+\frac{19}{2}$，由此求出y₁，y₂，从而能求出y₁与y₂的等差中项．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1，∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}-4$=-$\frac{7}{2}$，
∴曲线f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）处的切线为：y-6=-$\frac{7}{2}（x-1）$，即y=-$\frac{7}{2}x+\frac{19}{2}$，
∵切线经过过点A（-1，y₁），B（3，y₂），
∴${y}_{1}=\frac{7}{2}+\frac{19}{2}=13$，${y}_{2}=-\frac{7}{2}×3+\frac{19}{2}$=-1，
∴y₁与y₂的等差中项：
A=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{13-1}{2}$=6．
故选：D．

点评 本题考查等差中项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．