Question

17．已知x∈（0，1），a=$\frac{sinx}{x}$，b=$\frac{sin{x}^{3}}{{x}^{3}}$，c=$\frac{si{n}^{3}x}{{x}^{3}}$，则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． b＞c＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 分别令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），令f（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，1），利用导数研究其单调性，即可得出．

解答 解：令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），
g′（x）=1-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$＜0，∴函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴x＜tanx．
令f（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，1），
∴f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{cosx（x-tanx）}{{x}^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在x∈（0，1）单调递减，
∵x＞x³，
∴b＞a，
又0＜a＜1，c=a³，
∴c＜a．
综上可得：b＞a＞c．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．