Question

19．设0≤α≤π，不等式8x²-（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．

Answer 1

分析 将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．

解答 解：由题意：不等式8x²-（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，
由二次函数的性质可得：△≤0，
即：（8sinα）²-4×8×cos2α≤0
整理得：4sin²α≤1，
∴$-\frac{1}{2}≤sinα≤\frac{1}{2}$
∵0≤α≤π，
∴$0≤α≤\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}≤α≤π$．
所以α的取值范围是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．