Question

6．已知函数f（x）=（a+1）lnx-ax，试讨论f（x）在定义域内的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：∵f（x）=（a+1）lnx-ax，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{-ax+a+1}{x}$，
①a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{a+1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）递增，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）递减，
②-1≤a≤0时，-ax+a+1≥0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）递增，
③a＜-1时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x$\frac{a+1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）递减，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．