Question

1．已知函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，其中$a＜\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-2时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=lnx-2x²+3x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=-$\frac{（x-1）（4x+1）}{x}$，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，函数取得极大值1；
（Ⅱ）因为f′（x）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
a=0，函数在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，f（1）=-1＜0，f（x）在区间（0，e）上没有零点；
a＜0，函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
∵f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，
∴f（e）≤0，∴1+ae²-（2a+1）e≤0，
∴a≤$\frac{e-1}{e（e-2）}$，
∴a＜0；
$\frac{1}{2}＞$a＞0，令f′（x）=0，x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a}$＞1
因为f（1）＜0，f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，
∴f（e）≥0，∴1+ae²-（2a+1）e≥0，
∴a≥$\frac{e-1}{e（e-2）}$，∴$\frac{1}{2}＞$a＞0，
综上所述，a＜$\frac{1}{2}$且a≠0．

点评 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．