题目内容
16．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，-2），又点P（-2，1），点Q是边AB上一点，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10．（1）求点Q的坐标；
（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）的取值范围．
分析 （1）先设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，根据向量数量积关系$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10解方程求出λ即可．
（2）由R为线段OQ上的一个动点可设R（2t，2t），且0≤t≤1，分别求出$\overrightarrow{RO}$，$\overrightarrow{RP}$，$\overrightarrow{RA}$，$\overrightarrow{RB}$的向量坐标，由向量的数量积$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$整理可得关于t的一元二次函数，利用二次函数的知识可求取值范围．
解答 解：（1）$\overrightarrow{AP}$=（-3，-2），$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），
∵点Q是边AB上一点，
∴设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$=（5λ，-5λ），
$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AQ}$=（1，3）+（5λ，-5λ）=（1+5λ，3-5λ），
∵$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10．
∴-3（1+5λ）-2（3-5λ）=-10，
即λ=$\frac{1}{5}$，则$\overrightarrow{OQ}$=（1+5×$\frac{1}{5}$，3-5×$\frac{1}{5}$）=（2，2）．
即Q（2，2）．
（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（2t，2t），且0≤t≤1，
则$\overrightarrow{RO}$=（-2t，-2t），$\overrightarrow{RP}$=（-2-2t，1-2t），$\overrightarrow{RA}$=（1-2t，3-2t），$\overrightarrow{RB}$=（6-2t，-2-2t），
则（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）=（-2-4t，1-4t）•（7-4t，1-4t）
=（-2-4t）（7-4t）+（1-4t）（1-4t）=32t2-28t-13
=32（t-$\frac{7}{16}$）2-$\frac{153}{8}$，
∵0≤t≤1，
∴当t=$\frac{7}{16}$时，函数取得最小值-$\frac{153}{8}$，
当t=1时，函数取得最大值-9，
即（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）的范围是[-$\frac{153}{8}$，-9]．
点评 本题主要考查平面向量与函数的综合问题中，利用向量的数量积，向量共线的坐标公式进行转化，最后转化为函数的问题，利用二次函数在闭区间上的最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，考查学生的计算能力．
运行如图程序框图．
如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，延长MP到点N，使得|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|| A． | πa2 | B． | 2πa2 | C． | 3πa2 | D． | 12πa2 |
如图4，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，延长BC至D，使C为BD的中点．