Question

已知定点A（0，-3），动点P在x轴上移动，动点Q在y轴上，且∠APQ=

π

2

，点R在直线PQ上且满足

PQ

=

1

2

QR

．
（1）当点P在x轴上移动时，求动点R的轨迹C的方程；
（2）倾斜角为

π

4

的直线l₀与轨迹C相切，求切线l₀的方程；
（3）已知切线l₀与y轴的交点为B，过点B的直线l与轨迹C交于M、N两点，点D（0，1）．若∠MDN为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点R、P、Q的坐标分别为 （x，y）、（x₁，0）、（0，y₂），其中x₁≠0．由向量数量积的坐标运算列式化简得x₁²-x₁x-3y=0，根据

PQ

=

1

2

QR

，将x₁=-

x

2

代入上式并化简整理，即可得到点M的轨迹E所表示的图形；
（2）利用导数求出l₀的斜率为

1

2

x₀，从而得到x₀=2，再代入抛物线方程得切点为 （2，1），根据直线方程的点斜式列式，化简即得切线l₀的方程；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线l的方程并与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系列式得x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，且△=16k²-16＞0．根据∠ADB为钝角可得

DA

•

DB

＜0，将

DA

•

DB

表示成关于x₁+x₂、x₁x₂和k的式子，化简整理得到关于k的二次不等式，解之即可得到直线l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）设点R的坐标为 （x，y），点P的坐标为 （x₁，0）（x₁≠0），点Q的坐标为（0，y₂），
则

PA

=（-x₁，-3），

PR

=（x-x₁，y），

PQ

=（-x₁，y₂）
∵∠APQ=

π

2

，
∴-x₁（x-x₁）-3y=0，即x₁²-x₁x-3y=0．
由

PQ

=

1

2

QR

，将x₁=-

x

2

代入上式，化简得y=

1

4

x² （x≠0），
由此可得点R的轨迹E是抛物线y=

1

4

x²，除顶点外的图形；
（2）设切点为 （x₀，y₀），
∵求导数，得y'=

1

2

x，
∴切线l₀的斜率为

1

2

x₀=tan

π

4

=1，解之得x₀=2，
代入抛物线方程得切点为 （2，1）
∴切线l₀的方程为y-1=x-2，化简得x-y-1=0；
（3）∵l₀的切线方程为x-y-1=0，∴令x=0，得x=-1，得G的坐标为（0，-1）．
设l的斜率为k，得l的方程为y=kx-1．
代入抛物线方程消去y，得x²-4kπ+4=0．…①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两根，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4且△=16k²-16＞0，解之得k²＞1，
∵∠ADB为钝角，∴

DA

•

DB

＜0．
由

DA

=（x₁，y₁-1），

DB

=（x₂，y₂-1）．
可得：

DA

•

DB

=x₁•x₂+（y₁-1）（y₂-1）＜0，即x₁x₂+（k x₁-2）（kx₂-2）＜0，
∴x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0，化简得k²-2＞0，解之得k＜-

2

或k＞

2

．

点评：本题求动点的轨迹方程，求曲线的切线并讨论直线的夹角为钝角的问题．着重考查了抛物线的几何性质、直线与圆锥曲线的关系、曲线的切线求法和向量的数量积等知识，属于难题．