Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4$\sqrt{2}$，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M，N，设P为椭圆上一点，且$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=t$\overrightarrow{OP}$（t≠0，O为坐标原点），当|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|＜$\frac{4\sqrt{5}}{3}$时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率和椭圆的四个顶点形成四边形面积便可得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2ab=4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，从而可以解出a²=4，b²=2，从而便可得出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点A的直线可能不存在斜率，可能存在斜率，从而分这两种情况求t的取值范围：不存在斜率时，方程便是x=1，容易求出t=±1；而存在斜率时，可设直线方程为y=k（x-1），联立椭圆的方程可消去y得到，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，可设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），根据韦达定理便可求出${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2k}{2（2{k}^{2}+1）}$，根据$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=t\overrightarrow{OP}$可以求出x，y，根据P点在椭圆上，便可建立关于k，t的方程，可解出${t}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，而根据条件$|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}|＜\frac{4\sqrt{5}}{3}$便可求出k²的范围，从而得出t的范围，合并t=±1即可得出t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）根据条件得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2ab=4\sqrt{2}}\\{c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}\end{array}\right.$；
解得a²=4，b²=2；
∴椭圆C的标准方程为，$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）①过点A的直线不存在斜率时，方程为x=1，则由：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$；
∴M（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），N（1，$-\frac{\sqrt{6}}{2}$），P（$\frac{2}{t}，0$）；
P点在椭圆上；
∴$\frac{1}{{t}^{2}}=1$；
∴t=±1；
$|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}|=\sqrt{6}＜\frac{4\sqrt{5}}{3}$；
即t可以取到±1；
②过点A的直线存在斜率时，设为y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，则：
△=16k⁴-4（2k²+1）（2k²-4）＞0，化简得24k²+16＞0，该不等式恒成立；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$；
∴由$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=t\overrightarrow{OP}$得：$x=\frac{4{k}^{2}}{t（2{k}^{2}+1）}，y=-\frac{2k}{t（2{k}^{2}+1）}$；
点P在椭圆上；
∴$\frac{4{k}^{4}}{{t}^{2}（2{k}^{2}+1）^{2}}+\frac{2{k}^{2}}{{t}^{2}（2{k}^{2}+1）^{2}}=1$；
∴${t}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$；
由$|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}|＜\frac{4\sqrt{5}}{3}$得：$\sqrt{1+{k}^{2}}[{（x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]＜\frac{4\sqrt{5}}{3}$；
∴$（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{4}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}-\frac{8{k}^{2}-16}{2{k}^{2}+1}]＜\frac{80}{9}$；
整理得，13k⁴-5k²-8＞0；
∴（13k²+8）（k²-1）＞0；
∴k²＞1；
∴2k²+1＜3k²；
∴$\frac{{2k}^{2}}{2{k}^{2}+1}＞\frac{2}{3}$；
∴${t}^{2}＞\frac{2}{3}$；
∴t$＜-\frac{\sqrt{6}}{3}$，或$t＞\frac{\sqrt{6}}{3}$；
综上得t的取值范围为{t|$t＜-\frac{\sqrt{6}}{3}$，或t$＞\frac{\sqrt{6}}{3}$}．

点评 考查椭圆的离心率的概念及求法，椭圆的标准方程，a²=b²+c²，以及过一点的直线要考虑斜率不存在的情况，直线的点斜式方程，向量坐标的加法、减法及数乘运算，韦达定理，分解因式解高次不等式．