Question

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA，由正弦定理可得：sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，化为$sin（A-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，即可得出．
（2）由a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，可得bc=4．由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，化为b+c=4．联立解出即可．

解答 解：（1）∵△ABC中，c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA，
由正弦定理可得：sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，
∵sinC≠0，∴1=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2$sin（A-\frac{π}{6}）$，
即$sin（A-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，∵$（A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$，化为bc=4．
由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，
化为b+c=4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b+c=4}\\{bc=4}\end{array}\right.$，解得b=c=2．
∴b=c=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．