题目内容

3．平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-4}\\{x+y≥0}\\{x≤m}\end{array}\right.$给定，且区域D的面积为16，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，4），则Z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最小值是（　　）
A．-4B．4C．28D．-10

分析 由约束条件作出可行域，由区域D为等腰直角三角形，求面积得到m的值，再由数量积的坐标表示可得Z=2x+4y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-4}\\{x+y≥0}\\{x≤m}\end{array}\right.$作出可行域如图，

区域D为等腰直角三角形，
由三角形面积为16可得m=2．
又Z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=2x+4y，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得B（2，-2）．
化目标函数Z=2x+4y为$y=-\frac{x}{2}+\frac{Z}{4}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{2}+\frac{Z}{4}$过点B（2，-2）时直线在y轴上的截距最小，Z取最小值为2×2+4×（-2）=-4．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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13．给出下列命题：
（1）∅={0}；
（2）方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 2x+y=0\end{array}\right.$的解集是{1，-2}；
（3）若A∪B=B∪C，则A=C；
（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．
其中正确命题的个数有（　　）
A．1B．2C．3D．4
14．已知AB是圆O的一条直径，在AB上任取一点H，过H作弦CD与AB垂直，则弦CD的长度大于半径的概率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
11．已知二次函数f（x）=x2+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值
（1）求f（x）的解析式，用m表示
（2）当x∈[-2，1]时，f（x）≥-3恒成立，求实数m的取值范围．
18．设i 是虚数单位，复数$\frac{2i}{1+i}$对应的点与原点的距离是（　　）
A．2B．$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{2}$D．4
8．设函数 f（x）=x+$\frac{t}{x}$（t∈R），g（x）=lnx．
（1）讨论函数 f （ x ） 的极值点；
（2）求经过点（0，-1）且与函数g （ x ） 的图象相切的直线方程；
（3）令h（ x ）=f（ x ）+g（ x ），若不等式h（x）≥3在x∈（0，1]上恒成立，求实数t 的取值范围．
15．函数f：R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，则f（2015）=（　　）
A．0B．1C．2015D．2016
12．函数f（x）与$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$的图象关于直线y=x对称，则f（4-x2）的单调递增区间是（　　）
A．[0，2）B．（-2，0]C．[0，+∞）D．（-∞，0]
13．（1）已知tanα=3，计算$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值
（2）已知$cosα=-\frac{4}{5}$，且α为第三象限角，求sinα的值．

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