Question

11．已知二次函数f（x）=x²+bx+c的定义域为R，且f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值
（1）求f（x）的解析式，用m表示
（2）当x∈[-2，1]时，f（x）≥-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=1，f（x）在x=m时取得最值，用m表示b，c可得答案；
（2）分别讨论给定区间与对称轴的位置关系，结合f（x）≥-3恒成立，综合讨论结果，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）在x=m时取得最值，
∴-$\frac{b}{2}$=m，即b=-2m，
又∵f（1）=1，即1-2m+c=1，
∴c=2m，
∴f（x）=x²-2mx+2m；
（2）由函数f（x）=x²-2mx+2m的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，
且当x∈[-2，1]时，f（x）≥-3恒成立，则：
当m≤-2时，仅须f（-2）=6m+4≥-3，解得：m≥$-\frac{7}{6}$，此时不存在满足条件的m值；
当-2＜m＜1时，仅须f（m）=2m-m²≥-3，解得：-1≤m≤3，此时：-1≤m＜1；
当m≥1时，仅须f（1）=1≥-3，解得：m≥1；
综上所述：m≥-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．