Question

如图：设一正方形纸片ABCD边长为m，从此纸片中裁剪出一个正方形和四个全等的等腰三角形，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底的中心
（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；
（2）设等腰三角形底角为x，试把正四棱锥侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设正四棱锥底面边长为y，由条件知为△APQ等边三角形，又AH⊥PQ，AH=y，∴，再由2AH+y=AC得∴根据体积公式求解．
（2）按照（1）的思路：则有AH=由2AH+y=AC得，再由侧面积公式建立模型．用导数研究最值．
解答：解：（1）设正四棱锥底面边长为y，由条件知为△APQ等边三角形，又AH⊥PQ，
∴AH=y，
∵OH=∴
由2AH+y=AC得
∴=
（2）设正四棱锥的底面边长为y
则AH=由2AH+y=AC得，
∴即为所求表达式，
∵
∴tanx＞1
令t=tanx则
由恒成立知
函数在（1，+∞）上为减函数．
∴即为所求的范围．
点评：本题主要考查通过空间几何体的结构特征，来考查如何寻求各边之间量的关系及求几何体的体积和表面积问题．