题目内容
一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，将y表为x的函数；
（2）求y的最大值及此时x的值；
（3）在第（2）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点P，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FP⊥AC．如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，将y表为x的函数；
（2）求y的最大值及此时x的值；
（3）在第（2）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点P，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FP⊥AC．如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由．
分析：（1）在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，即可求得截面三角形面积的函数表达式；
（2）利用基本不等式，可求最值；
（3）取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，证明AC⊥平面GFT即可得到结论，从而可求轨迹的长度．
（2）利用基本不等式，可求最值；
（3）取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，证明AC⊥平面GFT即可得到结论，从而可求轨迹的长度．
解答：解：（1）由题意，y=
•EF•SO=
x•
=
=
（0＜x＜10）（4分）
（2）y=
=
≤
•
=
．
当且仅当x2=100-x2（0＜x＜10），即x=5
时取得最大值．…..（9分）
（3）存在这样的点的轨迹，下面说明：
取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，FG∩AC=H，则GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要P在平面GFT与棱锥的表面的交线上运动，均有FP⊥AC．
此时，由中位线性质可知，△GFT的周长l=
(SB+BD+SD)=
（
+
+
x）=
+
在（2）的条件下，l=5+
…．（14分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
25-(
|
| x |
| 2 |
25-
|
x
| ||
| 4 |
（2）y=
x
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| x2+100-x2 |
| 2 |
| 25 |
| 2 |
当且仅当x2=100-x2（0＜x＜10），即x=5
| 2 |
（3）存在这样的点的轨迹，下面说明：
取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，FG∩AC=H，则GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要P在平面GFT与棱锥的表面的交线上运动，均有FP⊥AC．
此时，由中位线性质可知，△GFT的周长l=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
25-
|
25-
|
| 2 |
25-
|
| ||
| 2 |
在（2）的条件下，l=5+
| 5 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
练习册系列答案
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一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
一块边长为10
的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积
与
的函数关系式,并求出函数的定义域.
的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积
与
的函数关系式,并求出函数的定义域. 