Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosA=-$\frac{4}{5}$，b=2，a=3．
（1）求sinB的值；
（2）求sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{π}{2}$＜A＜π，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，利用正弦定理即可求得sinB的值；
（2）利用二倍角公式求得sin2B和cos2B，根据两角差的正弦公式，展开即可求得sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）cosA=-$\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}$＜A＜π，则sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，则sinB=$\frac{2}{5}$，
∴sinB的值$\frac{2}{5}$；
（2）由0＜B＜$\frac{π}{2}$，则cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
则sin2B=2sinBcosB=$\frac{4\sqrt{21}}{25}$，cos2B=2cos²B-1=$\frac{17}{25}$，
sin（2B-$\frac{π}{6}$）=sin2Bcos$\frac{π}{6}$-cos2Bsin$\frac{π}{6}$，
=$\frac{4\sqrt{21}}{25}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{17}{25}$×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{12\sqrt{7}-17}{50}$，
sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值$\frac{12\sqrt{7}-17}{50}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．