Question

3．某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%．由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．经过多少年后，该项目的资金可以达到4倍的目标？

Answer 1

分析 设第n年终资金为a_n万元，由题意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），变形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），利用等比数列的通项公式可得a_n，进而得出．

解答 解：设第n年终资金为a_n万元，由题意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），
变形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），
故{a_n-800}构成一个等比数列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，
∴a_n-800=250×$（\frac{5}{4}）^{n-1}$，
令a_n≥4000，得$（\frac{5}{4}）^{n}$≥16，两边取对数可得：n≥$\frac{4lg2}{1-3lg2}$≈13，
故至少要13年才能达到目标．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．