Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，若E，F分别是棱BB₁，CC₁上的点，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，则异面直线A₁E与AF
所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁E与AF所成角的余弦值．

解答 解：以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，
E，F分别是棱BB₁，CC${\;}_{{1}_{\;}}$上的点，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴A₁（4，0，6），E（2，2$\sqrt{3}$，3），F（0，0，4），A（4，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，2$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{AF}$=（-4，0，4），
设异面直线A₁E与AF所成角所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}×5}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．