Question

2．若函数y=f（x）的值域为[1，3]，则函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域为[2，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出新函数的最小值，然后求解最大值即可得到结果．

解答 解：函数y=f（x）的值域为[1，3]，
则函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$$≥2\sqrt{f（x）•\frac{1}{f（x）}}$=2，当且仅当f（x）=1时等号成立．
∵1≤f（x）≤3，可得f（x）+$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{4}{3}$．
函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域为[2，$\frac{4}{3}$]．
故答案为：[2，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查函数的最值的求法，可以参考函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$求解函数的值域，考查计算能力．