题目内容
14．已知数列{an}中，a1=3，an+1=an-5anan+1（n∈N*）．（1）求正：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）通过对an+1=an-5anan+1两边同时除以anan+1整理可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、5为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{15n-14}{3}$，进而可得结论．
解答 （1）证明：∵an+1=an-5anan+1（n∈N*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-5{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项、5为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+5（n-1）=$\frac{15n-14}{3}$，
∴数列{an}的通项公式an=$\frac{3}{15n-14}$．
点评 本题考查等差数列的判定及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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