Question

11．若x²+y²=1，证明：-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤ax+by≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 运用作差法，因式分解得到完全平方可得，原不等式成立．

解答 证明：由（ax+by）²-（a²+b²）（x²+y²）
=（a²x²+b²y²+2abxy）-（a²x²+b²y²+a²y²+b²x²）
=2abxy-a²y²-b²x²
=-（ay-bx）²≤0，
可得（ax+by）²≤（a²+b²）（x²+y²），
由x²+y²=1，可得（ax+by）²≤（a²+b²），
即有-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤ax+by≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查运算能力，属于基础题．