Question

【题目】定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有.若，则m的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

令g（x）＝f（x）x，求得g（x）＝g（2﹣x），则g（x）关于x=1对称，再由导数可知g（x）在时为减函数，化f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1为g（m）≥g（1﹣2m），利用单调性及对称性求解．

令g（x）＝f（x）x，

g′（x）＝f′（x）﹣1，当x1时，恒有f'（x）＜1．

∴当x1时，g（x）为减函数，

而g（2﹣x）＝f（2﹣x）（2﹣x），

∴由得到

f（2﹣x）（2﹣x）=f（x）x

∴g（x）＝g（2﹣x）．

则g（x）关于x=1对称，

由f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，得f（m）m≥f（1﹣2m）（1﹣2m），

即g（m）≥g（1﹣2m），

∴，即1．

∴实数m的取值范围是[﹣1，]．

故选：D．