Question

14．已知函数f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1）
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数f（x）的导数，根据导函数f'（x）对a进行讨论，求出函数f（x）的最小值；
（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于2e-3，
根据函数的单调性，求f（x）的最大值和最小值，建立关于a的不等式，从而求出a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1），
∴f′（x）=2a^xlna+2x-2lna=2[x+（a^x-1）lna]；
当a＞1时，lna＞0，函数y=（a^x-1）lna在R上是单调增函数；
当0＜a＜1时，lna＜0，函数y=（a^x-1）lna在R上也是单调增函数；
又y=x在R上是单调增函数，所以f′（x）在R上是单调增函数；
令f′（x）=0，解得x=0；
则f′（x），f（x）随x的变化情况如下表所示；

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

所以函数f（x）的最小值为f（0）=2•a⁰+0-0=2；
（2）存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3，
得x∈[0，1]时，f（x）_max-f（x）_min≥2e-3；
当x∈[0，1]时，f（x）的最小值是f（x）_min=f（0）=2，
f（x）的最大值是f（x）_max=f（1）=2a+1-2lna；
∴f（x）_max-f（x）_min=2a-1-2lna≥2e-3，
即a-lna≥e-1；
设g（a）=a-lna，则g′（a）=1-$\frac{1}{a}$，
当a＞1时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，得a-lna≥e-1，解得a≥e；
当0＜a＜1时，得$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，解得0＜a≤$\frac{1}{e}$；
所以实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{1}{e}$或a≥e．

点评 本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，属于难题．