Question

19．数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1，则M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$的整数部分是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），从而$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，通过累加，得：M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2018}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$．由此能求出M的整数部分．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1，
∴由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
通过累加，得：
M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2018}-1}$
=2-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，
由a₁=$\frac{3}{2}$，得a₂=$\frac{7}{4}$，∴a₃=2$\frac{16}{5}$．
∴a₂₀₁₈≥a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃＞2，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$＜1，
∴1＜M＜2，
∴M的整数部分为1．
故选：A．

点评 本题考查数列的前n项的倒数和的整数部分的求法，考查构造法、累加法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．