题目内容
已知函数f（x）=（x2+2x-2）•ex，x∈R，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有两个不同的实数根，试求实数m的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有两个不同的实数根，试求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=（x2+4x）•ex，令f'（x）=0，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值．
（Ⅱ）作出大致图象，问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，由此能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）作出大致图象，问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，由此能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+2x-2）•ex，x∈R，
∴f'（x）=（2x+2）•ex+（x2+2x-2）•ex=（x2+4x）•ex…（2分）
令f'（x）=0，解得x1=-4或x2=0，列表如下…（4分）
由表可得当x=-4时，函数f（x）有极大值f（-4）=6e-4；
当x=0时，函数f（x）有极小值f（0）=-2；…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及当x→-∞，f（x）→0；x→+∞，f（x）→+∞
大致图象为如图（大致即可）
问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，…（10分）
故实数m的取值范围为[-2，0]∪{6e-4}．…（13分）
∴f'（x）=（2x+2）•ex+（x2+2x-2）•ex=（x2+4x）•ex…（2分）
令f'（x）=0，解得x1=-4或x2=0，列表如下…（4分）
| x | （-∞，-4） | -4 | （-4，0） | 0 | （0，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 递增 | 极大 | 递减 | 极小 | 递增 |
当x=0时，函数f（x）有极小值f（0）=-2；…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及当x→-∞，f（x）→0；x→+∞，f（x）→+∞
大致图象为如图（大致即可）
问题“方程f（x）=m有两个不同的实数根”转化为函数f（x）的图象与y=m的图象有两个不同的交点，…（10分）
故实数m的取值范围为[-2，0]∪{6e-4}．…（13分）
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．
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已知函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则不等式f（lgx）＞f（1）的解集是（ ）
A、（
| ||
B、（
| ||
C、（0，
| ||
| D、（0，1）∪（10，+∞） |
如图，在多面体EFABCD中，底面正方形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．