Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））处的切线与直线y=3x+2平行．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时取得极值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，利用导数的几何意义得2a+b=0，再由极值得12-4a+b=0，从而解出a，b．（2）用导数求单调性．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））处的切线与直线y=3x+2平行，
∴f′（1）=3+2a+b=3即2a+b=0①
∵y=f（x）在x=-2时取得极值，
∴f′（-2）=0即12-4a+b=0 ②
联立①②解得a=2，b=-4
（2）由（1）得
f（x）=x³+2x²-4x+5，
f′（x）=3x²+4x-4=3（x+2）（x-

2

3

）
解f′（x）＞0得x＜-2或x＞

2

3

，则函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（

2

3

，+∞）
解f′（x）＜0得-2＜x＜

2

3

，则函数y=f（x）的单调递减区间为（-2，

2

3

），
所以函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（

2

3

，+∞），单调递减区间为(-2，

2

3

)．

点评：本题考查了学生对导数综合应用的掌握，是基础题．