Question

设实数x，y满足条件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

2

a

+

3

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：

分析：由约束条件作出可行域，求出最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到

a

3

+

b

2

=1，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由约束条件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

作出可行域如图，

联立

4x-y-10=0 x-2y+8=0

，解得B（4，6），
化目标函数z=ax+by为y=-

a

b

x+

z

b

，
由图可知，当直线y=-

a

b

x+

z

b

过B时z有最大值，
为4a+6b=12，即

a

3

+

b

2

=1，
则

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（

a

3

+

b

2

）=

2

3

+

3

2

+

b

a

+

a

b

≥

13

6

+2

b a • a b

=

25

6

．
当且仅当

a 3 + b 2 =1 b a = a b

，即a=b=

6

5

时上式等号成立．
故答案为：

25

6

．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．