Question

已知关于x的方程sinx+cosx=a与tanx+cotx=a的解集都是空集，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

方程sinx+cosx=a 化简为：

2

sin（ x+

π

4

）=a，即 sin（ x+

π

4

）=

2 a

2

，
若没有解集，那么

2 a

2

＞1或

2 a

2

＜-1，
解得 a＞

2

或a＜-

2

，即实数a的取值范围是 （

2

，+∞）∪（-∞，-

2

）．
∵tanx+cotx≥2，或tanx+cotx≤-2，若tanx+cotx=a的解集是空集，
则有-2＜a＜2，即实数a的取值范围是 （-2，2 ）．
对这两个实数a的取值范围取交集可得(-2，-

2

)∪(

2

，2)，
故答案为 (-2，-

2

)∪(

2

，2)．